Question

x平方分之一的导数是什么？

Answer 1

x平方分之一的导数是：-2X^(-3)。

可以利用求导公式(X^n)'=n*X^(n-1)

1/X^2=X^(-2)，可以对比上面的公式得：

n=-2，代入上面公式可得：(1/X^2)'=(X^(-2))'=-2*X^(-2-1)==-2X^(-3)。

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导函数：

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。

Answer 2

函数f(x) = x^(-1/2) 的导数可以通过求导法则计算得到。首先，我们可以使用负指数法则将函数表示为 f(x) = 1/sqrt(x)，然后应用倒数法则：
f'(x) = -1/2 * (1/sqrt(x))^2 * (d/dx) sqrt(x)
接下来，我们可以使用链式法则计算 d/dx sqrt(x)：
(d/dx) sqrt(x) = 1/(2 * sqrt(x))
将其代入导数公式中，得到：
f'(x) = -1/2 * (1/sqrt(x))^2 * 1/(2 * sqrt(x))
化简上述表达式，得到最终结果：
f'(x) = -1/(2 * x * sqrt(x))
因此，x^(-1/2) 的导数为 -1/(2 * x * sqrt(x))。

Answer 3

要计算$x$的导数，其中$x \neq 0$，我们可以使用导数的定义和指数函数的导数规则。
我们有 $f(x) = x^{-1}$，其中 $x \neq 0$。根据导数的定义，导数可以定义为极限：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
将 $f(x) = x^{-1}$ 代入上式，我们得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-1} - x^{-1}}{h}$$
将右边的分式的两项通分，得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)}$$
化简上式：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)}$$
化简后，我们可以约去$h$并将极限移到分母上：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$$
取极限：
$$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$$
所以$x$的导数为$-\frac{1}{x^2}$，其中$x \neq 0$。