Question

可积函数一定连续吗?

Answer 1

不一定。

不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个被积函数是不可以出现间断点的。一旦出现了间断点，不定积分将手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。

因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，这是不定积分设定的。在这样的情况下的可积函数是指被积函数，积出来的原函数是连续的。

在原函数可导的假设下，它连续是先决条件，连续不一定可导，而可导的函数必须是连续函数。原函数既然可导，那原函数就必须连续，这是可导的必要条件。

相关如下：

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。

可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。