Question

x/根号下1+x^2的不定积分是多少?

Answer 1

x/根号下1+x^2的不定积分是√(1+x²)+C。

令x=tant,则t=arctanx,dx=sec²tdt

∫x/√(1+x²)dx

=∫tant/sect*sec²tdt

=∫tantsectdt

=∫sint/cos²tdt

=-∫1/cos²td(cost)

=1/cost+C

=sect+C

=√(1+tant²)+C

=√(1+x²)+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。