limx→0(1+1/x)的x次方是什么?

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教育能手H
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2022-03-31 · 专注教育,寓教于春风细雨
教育能手H
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limx→0(1+1/x)的x次方是:lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]。

lim x->0 (1+1/x)^x=lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]。解法如下:

当x->0-时,1+1/x->负无穷,ln(1+1/x)无意义。

当x->0+时,1+1/x->正无穷,所以ln(1+1/x)->正无穷。

洛必达法则知x*ln(1+1/x)->0。

此时lim x->0+ (1+1/x)^x=e^[lim x->0+ x*ln(1+1/x)]=e^0=1。

综上,只有x->0+时,有lim x->0+ (1+1/x)^x=1。

应用条件:

在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大),二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决;如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

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