Question

limx→0(1+1/x)的x次方是什么？

Answer 1

limx→0(1+1/x)的x次方是：lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]。

lim x->0 (1+1/x)^x=lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]。解法如下：

当x->0-时，1+1/x->负无穷，ln(1+1/x)无意义。

当x->0+时，1+1/x->正无穷，所以ln(1+1/x)->正无穷。

由洛必达法则知x*ln(1+1/x)->0。

此时lim x->0+ (1+1/x)^x=e^[lim x->0+ x*ln(1+1/x)]=e^0=1。

综上，只有x->0+时，有lim x->0+ (1+1/x)^x=1。

应用条件：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)，二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。