Question

高一数学题！

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos^2·(A-B)/2·cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+c)=-3/5. (I)求CosA的值. (II)若a=4倍根号2，b=5，求向量→BA在→BC方向上的投影.

Answer 1

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos^2·(A-B)/2·cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+c)=-3/5. (I)求CosA的值.
解：(I)
∵2cos^2·(A-B)/2=1+cos(A-B)
∴2cos^2·[(A-B)/2]·cosB-sin(A-B)sinB
=[1+cos(A-B)]·cosB-sin(A-B)sinB
=cosB+cos(A-B)·cosB-sin(A-B)sinB
=cosB+cos[(A-B)+B]
=cosB+cosA
又
A+B+C=π
A+C=π-B
cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB.
∴等式左边：
2cos^2·(A-B)/2·cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+c)
=cosB+cosA-cosB
=cosA
∴cosA=-3/5(A为钝角）.

从而
sinA=4/5

(II)若a=4倍根号2，b=5.
根据正弦定理
a/sinA=b/sinB
得4√2/(4/5)=5/sinB
sinB=√2/2,
B=45°.

C=180°-A-B
=180°-A-45°
=135°-A
sinC=sin(135°-A)
=sin135°cosA-cos135°sinA
=√2(cosa+sinA)/2
=√2[(-3/5)+(4/5)]/2
=√2/10.

根据正弦定理
c/sinC=b/sinB
得
c/(√2/10)=5/(√2/2)
c=1.

∴向量BA在BC方向上的投影为：
√2/2.

Answer 2

1.【cos(A-B)+1】cosB-sin(A-B)sinB+cos(π-B)=-3/5
cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-3/5
cos(A-B+B)=-3/5
cosA=-3/5
2.sinA=4/5 a/sinA=b/sinB sinB=√2/2 cosB=√2/2
sinC=sin(π-(A+B))=sin(A+B)=√2/10
c=1
→BA在→BC方向上的投影=c cosB=√2/2