Question

线性代数(三)向量组

Answer 1

n维向量：n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，记为 ,并称α为n维行向量, 称为n维列向量。

设 是n维向量， 是一组实数，则称

是 的线性组合

设向量 能表示成向量组 的线性组合，即存在 ，使得

则称向量 能被向量组 线性表出

对n维向量 ，如果存在不全为零的数使得

则称向量组 线性相关，否则，则称向量组 线性无关

含有零向量或者有成比例的向量的向量组必定线性相关

向量组 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余的n-1个向量线性表出

若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能被向量组 线性表出

如果向量组 可以由向量组 线性表示，且t>s则 线性相关

设m个n维向量 ，其中

则向量组 线性相关的是齐次线性方程组

有非零解，其中

量 能被向量组 线性表出

非齐次线性方程组 有解

如果向量组 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关

如果一组 维向量 线性无关,那么把这些向量各任意添加 个分量所得到的新向量 ( 维)组 也是线性无关的;如果 线性相关,那么它们各去掉相同的若干个分量所得到的新向埋组也是线性相关的.

在向量组 中，若存在r个向量 满足

则称 是向量组 的一个极大线性无关组

设有两个向量组（Ⅰ） ；（Ⅱ）

如果（Ⅰ）中的每个向量都可由（Ⅱ）中的向量线性表出，则称向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出。如果（Ⅰ）（Ⅱ）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记作

向量组 的极大线性无关组 中所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记作

等价向量组等秩,反之未必成立.

设向量组 及 若 均可由 线性表出,则

若 是 维向量空间 中的线性无关的有序向量组,则任一向量 均可由 ,线性表出，记表出式为

称有序向量组 是 的一个基,基向量的个数 称为向量空间的维数,而 ( ) 称为向量 在基 下的坐标,或称为 的坐标行(列)向量.

则上式称为矩阵由基 到基 的基变换公式，矩阵C称为由基 到基 的过渡矩阵。C的第i列即是 在基 下的坐标列向量，且过渡矩阵C是可逆矩阵

又基 到基 的过渡矩阵为 ,即

则

得

上式称为左边变换公式