Question

求极限问题，请用洛必达法则和变形，不要用替换法，谢谢~

Answer 1

对数恒等式即1-x=e^ln(1-x)

那么得到
原极限=lim(x->1-) e^ [ln(1-x) *cos(π/2 x)]
那么ln(1-x) *cos(π/2 x)
=ln(1-x) / [1/cos(π/2 x)]
分子分母都趋于无穷，使用洛必达法则求导得到
lim(x->1-) ln(1-x) / [1/cos(π/2 x)]
=lim(x->1-) [ln(1-x)]' / [1/cos(π/2 x)]'
=lim(x->1-) 1/(x-1) / {-π/2 *sin(π/2 x)/[cos(π/2 x)]^2}
代入sin(π/2 x)=1，即得到
lim(x->1-) [cos(π/2 x)]^2/ [-π/2*(x-1)]
x=1时分子分母都趋于0，使用洛必达法则求导得到
lim(x->1-) -2cos(π/2 x)sin(π/2 x) *π/2/ (-π/2)
=lim(x->1-) sin(πx)
于是x趋于1-的时候，
ln(1-x) *cos(π/2 x)的极限值趋于sinπ= 0
所以解得
原极限=lim(x->1-) e^ [ln(1-x) *cos(π/2 x)]
=e^0 =1
极限值为 1