Question

李雅普诺夫第二法中的V(x)是怎么选择的?

Answer 1

李雅普诺夫第二法中的V(x)选择：考虑一个函数V(x):R→R使得 只有在处等号成立（正定函数） （负定） 则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

A，B是t的函数，都是列向量，P是相应维数的常数矩阵。(A'PB)求导=A'[(PB)求导]+(PB)'(A''求导)=A'PB导数+B'P'A导数。带入Lyapunov函数状态X，就是(X'PX)求导=X'PX导数+X'P'X导数=X'(P+P')X导数。

它们的直观几何意义是：

平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里。渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。