Question

有理数的加减

Answer 1

就在前天，我们重新学习了有理数的加减，相比于小学时候我们学习到的加减的面更要广泛一些，如果我们想要探究有理数的加减，那么我认为，我们有必要先给有理数分一下类，我们就可以把有理数分为正有理数、负有理数和零，正有理数包含了正分数和正整数，负有理数，包含了负分数和负整数，现在我们已经有了基本信息，到时候当我们探索有理数加法的时候，就可以把有理数的加法分成一些不同的类去讨论，最后我把他分成了这五个类：（如图）

其实正数加正数在我们小学阶段就学过，比如我们可以举一个特例，2+3我们都知道它的得数是5，但是我们如何去证明2+3的得数是5呢？此时我们就需要借助一个工具，那就是数轴，解释加法的原理最好的方法非数轴没数了，用文字语言来表达，就是从零开始向右跳，跳两个单位一，跳到的位置就是2，然后从2的位置再往右跳3个单位一，跳到的位置就是5，所以2+3=5，而我们如果用字母来表示的话，就是a+b。

但是我们却忽略了一个东西，a它可以是一个负数啊！那我们该如何用字母来表示正数加正数呢？所以a+b也是分情况的啊！我们就可以把a+b分成这几个类，a=0，a<0，a>0，那么b也是这三个类，b=0，b<0，b>0，而a和b也可以结合成不同的加法，而我们刚才讨论的，明显就是a和b都大于零，所以也就是正数，加上一个正数。

那么我们现在来想一下，如果a是一个小于零的数字呢？那岂不是就变成了负数加上一个正数吗？所以这就是我们要讨论的第二个类，我们还可以举一些特例，比如-2+3，我们仍然用数轴来解释，用文字语言表达，也就是从零开始向左跳，跳了两个单位一，跳到了负二的位置，然后从负二开始往右跳，跳了三个单位一，跳到了一的位置，所以-2+3=1，那我们再来举一个例子，比如-3+2，那么也就是从零开始向左边跳，跳了三个单位一，跳到了负三的位置，然后从负三开始向右跳，跳了两个单位一，跳到了负一的位置，现在你可能隐隐约约的有一种感觉，就是如果当一个负数的绝对值大于正数的绝对值的话，那么最终得到的这个数字就是一个负数，但是如果一个负数的绝对值小于正数的绝对值的话，那么最终得到的数字就是一个正数。那现在我们想一下，如果这个负数的绝对值和正数的绝绝对值一样的话，最终会得到零这个结果。

现在我们继续来探究，当a和b同时都小于零的话，也就是一个负数，加上一个负数，而这个我们也在数轴上来解释，现在我们再来举一个特例，-2+（-3），也就是从零开始向佐跳跳，两个单位一，跳到负二的位置，然后再从负二开始向左跳跳，三个单位一，最终跳到了负五的位置，负数加一个负数是很好理解的，五门可以用单位一来解释，两个负一，加上三个负一就是五个负一，那么如果我们把负数加负数和正数加正数联系起来的话，我们会发现，如果两个数如果两个有理数是相同的符号的话，最终的结果取相同的符号，然后再把每一个数字的绝对值相加，那么最终就可以得到它的得数，这就是我们找到的第二个规律。

现在我们来说一下，我们分类中的第四类和第五类，零加上一个正数和零加上一个负数，其实零加上任何一个数字，都等于那个数字本身，所以如果我们讨论他的话，就没有太大的价值。

所以现在我们来总结一下，我们经过一系列的讨论，最终得出来的法则，我们先来说正数加正数和负数加负数吧，得出来的结论是同号的数字相加，最终结果取相同的符号，并且把加数的绝对值相加。这是一个，另一个就是负数加上正数，当然也可能是负数加上正数，他们的法则就是：异号两数相加，如果加数的绝对值相等的话，那么结果为零，绝对值不相等时，最终取用绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，这是其二，其三就是：零加上任何数，仍得这个数。

现在我们已经得到了有理数加法的法则，那么减法呢？

我们要研究减法，首先第一步还是要将有理数的减法分成不同的类去讨论，最终我分成了这几个类，如下图：

一个正数减去一个正数在我们小学的时候就学过，我来举一个例子，比如3-2，我们用数轴来解释，从零开始向右跳，跳三个单位一，跳到了三的位置，那么减法就是向左跳，所以然后从三开始向左跳，跳两个单位一，跳到了一的位置。那么现在我们来看一下负数减去负数，我们依然用数轴来表示，比如说-2-（-3），从零开始向左跳，跳了两个单位一，跳到了负二的位置，那么这时候是减去一个负三，那么现在我们应该是向左跳三个单位一还是向右跳三个单位一呢？其实我们可以用反射原理来解释一下，原本负二已经是一个负数了，可是这时候还要再减去一下，两个负号，那么这时候就需要在数轴上再往右反射一下，那么所以-2-（-3），就把她的减号变成了加号，把负三变成了正三，所以也就把他改变成了-2+3，那么这时候我们从负二开始向右跳，跳三个单位一，最终就跳到了一的位置。

那么一个正数减去一个负数，最终会得到什么样的结果呢？比如2-（-3），在数轴上也就是这样表达，从零开始向右跳，跳了两个单位一，跳到了二的位置，此时我们就需要运用我们刚才学到的反射原理了，减负三也就是加三，那么这时候从二开始往右跳跳，三个单位一，跳到了五的位置。一个负数减一个正数，该如何求呢？比如（-2）-3，在数轴上，我们首先要从零开始向左跳，跳两个单位一，跳到了负二的位置，那么这时候运用反射原理，减号就变成了加号，三也就变成了负三，那么我们就把它改变成了-2+（-3），这时从负二开始向左跳，跳三个单位一，最终跳到了负五的位置。

那么第五类和第六类是零减去一个负数和零减去一个正数，利用我们的反射原理，比如0-（-2），那么最后也就变成了0+2，0-3，也就变成了0+（-3），所以现在我们就已经知道有理数减法的方法了。

现在我们来总结一下，减法的法则是什么？经过我们以上那么多的分类讨论，我想你们也应该隐隐约约的感受到，只要一个有理数减去一个有理数，也就是加上这个有理数的相反数，而这就运用了反射原理而得到的有理数减法的法则。

这就是有理数的加法和减法了，我认为现在我们初中学习的加法和减法相比于小学学习的更加的严谨，并且加上了负数这个因素，最终得到了有理数的加法和减法的运算法则。