Question

如图,a,b,c在同一直线上,且△ABD,△BCE都是等边三角形,AE交BD于F.CD交BE于G,求证见问题补充

求证：（1）AE=CD（2)BF=BG;(3)FG∥AC（4）OB平分∠AOC

Answer 1

证明：（1）∵△ABD、△BCE为等边三角形
∴AB=BD，BC=BE
∠1=∠2=60°，∠3=180°-∠1-∠2=60°
∴∠ABE=∠DBC=120°
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE=CD
（2）∵△ABE≌△DBC
∴∠BEF=∠BCG
∵∠3=∠2=60°，BE=BC
∴△BEF≌△BCG（ASA）
∴BF=BG
（3）∵BF=BG，∠3=60°
∴△BFG为等边三角形
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=60°
∴FG∥AC
（4）作BP⊥AE，BQ⊥CD
∵△ABE≌△DBC
∴S△ABE=S△DBC
即AE×BP/2=CD×BQ/2
∵AE=CD
∴BP=BQ
∴OB平分∠AOC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

Answer 2

⑴∵ΔABD、ΔBCE都是等边三角形，
∴BA=BD，BE=BC，∠1=∠2=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
∴ΔABE≌ΔDBC(SAS)，
∴ AE=CD。
⑵由⑴全等得：∠BAF=∠BDG，
∵∠FBG=180°-∠1-∠2=60°=∠ABF，BA=BD，
∴ΔBAF≌ΔBDG(ASA)，
∴BF=BG。
⑶∵BF=NG，∠FBG=60°，
∴ΔBFG是等边三角形，∴∠GFB=60∠=∠1，
∴FG∥AB。
⑷由⑴全等得：∠OEB=∠OCB，∴O、E、B、C四点共圆，
∴∠BOC=∠BEC=60°，同理：∠BOA=60°，∴∠BOC=∠BOA，
∴BO平分∠AOC。