Question

有界数列为啥可以抽出一个单调数列

Answer 1

更好的命题是:有界无穷数列，必定能从中拎出一收敛子列(B-W定理)。

该命题证明的基础是:任一数列(可以有界，也可以无界)，必定能从中拎出一单调子列。

对于"任一数列(可以有界，也可以无界)，必定能从中拎出一单调子列"，有一种证明思路挺有意思，很多参考书，及前面已有人所述，可以看成是"假设证明法"。这里用通俗的大白话描述一下。

我们从这个任一数列中随便拎一个数出来，作为子列的第一个数，记作z1吧(子的拼音哈)。那么z1之后的数与之相比，存在三种情况:

①z1后面的数都比z1小，此时我们称z1为第一个老大

②z1后面的数都比z1大，此时我们称z1为第一个老幺

③z1后面的数有的比z1大，有的比z1小，此时我们称z1为第一个挺惨。

假设法开始了::

假设一直是情况③，z1后有比它小的，也有比它大的，那么我们找一个比z1大的，记作z2；z2后又有比z2小的，也有比z2大的，找一个比z2大的，记作z3…持续下去一直找大的，因此形成了z1<z2<z3<…zn<…。这就拎出了一堆挺惨的单增子列。当然你也可以一直选较小的，因此形成了z1>z2>z3>…zn﹥…拎出的就是一堆挺惨的单减子列。因此，总能找到一个单调子列。
作为家里中间人，既不象老大权威，又不象老幺受宠，是不是挺惨的。
假设是情况①，z1是第一个老大，比z1后面的都大。z2是第二个老大，比z2后面的都大，把所有的这种老大拎出来，有z1>z2>z3>…zn>…如果这种老大有无穷多个，这就是要找的单调子列。…比较精采的来了…如果这种老大只有有限多个呢？甚至更特殊一些，这种老大仅有一个呢？既然这种老大是有限的，总有一个老大排在最后，叫这个最后的老大为zn吧。我们要试图在zn后面找出一个单调子列。紧挨着zn后面的第一个数记为b1吧，则b1后面一定可以找出一个数，记为b2，使b1≤b2。凭啥？反证法。假设b1后面的数全都比b1更小，那b1成了啥，成了最后一个老大啊，这与zn是最后一个老大不符啊。故假设不成立，至少有一个b2，使b1≤b2。同理，b2后面至少有一个b3，使b2≤b3，否则，b2就成了最后一个老大。因此有b1≤b2≤b3≤…bn≤…这个单调子列也找出来了。
情况②:老幺的分析老大一样，自行分析一下。
综上，无论数列是什么样，可以在3种情况切换，切换后都会进入老大模式，老幺模式，或挺惨摸式，无论哪种模式，总有一款适合你，都能拎出一个单调子列。

Answer 2

更好的命题是:有界无穷数列，必定能从中拎出一收敛子列(B-W定理)。

该命题证明的基础是:任一数列(可以有界，也可以无界)，必定能从中拎出一单调子列。

对于"任一数列(可以有界，也可以无界)，必定能从中拎出一单调子列"，有一种证明思路挺有意思，很多参考书，及前面已有人所述，可以看成是"假设证明法"。这里用通俗的大白话描述一下。

我们从这个任一数列中随便拎一个数出来，作为子列的第一个数，记作z1吧(子的拼音哈)。那么z1之后的数与之相比，存在三种情况:

①z1后面的数都比z1小，此时我们称z1为第一个老大

②z1后面的数都比z1大，此时我们称z1为第一个老幺

③z1后面的数有的比z1大，有的比z1小，此时我们称z1为第一个挺惨。

假设法开始了::

假设一直是情况③，z1后有比它小的，也有比它大的，那么我们找一个比z1大的，记作z2；z2后又有比z2小的，也有比z2大的，找一个比z2大的，记作z3…持续下去一直找大的，因此形成了z1<z2<z3<…zn<…。这就拎出了一堆挺惨的单增子列。当然你也可以一直选较小的，因此形成了z1>z2>z3>…zn﹥…拎出的就是一堆挺惨的单减子列。因此，总能找到一个单调子列。

作为家里中间人，既不象老大权威，又不象老幺受宠，是不是挺惨的。

假设是情况①，z1是第一个老大，比z1后面的都大。z2是第二个老大，比z2后面的都大，把所有的这种老大拎出来，有z1>z2>z3>…zn>…如果这种老大有无穷多个，这就是要找的单调子列。…比较精采的来了…如果这种老大只有有限多个呢？甚至更特殊一些，这种老大仅有一个呢？既然这种老大是有限的，总有一个老大排在最后，叫这个最后的老大为zn吧。我们要试图在zn后面找出一个单调子列。紧挨着zn后面的第一个数记为b1吧，则b1后面一定可以找出一个数，记为b2，使b1≤b2。凭啥？反证法。假设b1后面的数全都比b1更小，那b1成了啥，成了最后一个老大啊，这与zn是最后一个老大不符啊。故假设不成立，至少有一个b2，使b1≤b2。同理，b2后面至少有一个b3，使b2≤b3，否则，b2就成了最后一个老大。因此有b1≤b2≤b3≤…bn≤…这个单调子列也找出来了。

情况②:老幺的分析老大一样，自行分析一下。

综上，无论数列是什么样，可以在3种情况切换，切换后都会进入老大模式，老幺模式，或挺惨摸式，无论哪种模式，总有一款适合你，都能拎出一个单调子列。