Question

已知a>b>c 求证a-b分之一加b-a分之一加a-c分之一大于0

我修改一下
已知a>b>c
求证:a-b分之一加b-c分之一加c-a分之一大于o

Answer 1

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=[(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)]/(a-b)(b-c)(c-a)
=[bc-ba-c²+ca+ac-a²-bc+ab+ab-ac-b²+bc]/(a-b)(b-c)(c-a)
=[-(a²-ab+b²-ac+c²-bc)]/[-(a-b)(b-c)(a-c)]
=[2(a²-ab+b²-ac+c²-bc)]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
=[2a²-2ab+2b²-2ac+2c²-2bc]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
=[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
∵a>b>c
∴a-b>0，b-c>0，a-c>0，(a-b)²>0，(b-c)²>0，(a-c)²>0
∴(a-b)(b-c)(a-c)>0，(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²>0
∴1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

Answer 2

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)/(a-b)(b-c)(c-a)
(a-b)(b-c)(c-a)<0 分母
看分子
(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)
=(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)
=(c-a)(b-c+a-b)+(a-b)(b-c)
=(c-a)(a-c)+(a+c-c-b)(b-c)
=(c-a)(a-c)+(a-c)(b-c)+(c-b)(b-c)
=(a-c)(c-a+b-c)+(c-b)(b-c)
=(a-c)(b-a)+(c-b)(b-c)
(a-c)(b-a)<0
(c-b)(b-c)<0
分子<0

原式>0

Answer 3

1/(a-b)+1/(b-a)+1/(a-c)=1/(a-b)-1/(a-b)+1/(a-c) = 1/(a-c)>0

追问

我修改一下
已知a>b>c
求证:a-b分之一加b-c分之一加c-a分之一大于o

追答

通分一下就解决问题了。