Question

求证a^2+b^2+c^2>=3(abc)^2/3

Answer 1

先证明定理：a,b,c≥0时，a³+b³+c³≥3abc
a³+b³+c³-3abc
=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]/2≥0
当且仅当a=b=c时取等号
∴a,b,c≥0时，a³+b³+c³≥3abc

a,b,c≥0时，将a,b,c换成³√a,³√b,³√c
得到另一个定理：a+b+c≥3³√(abc）

∴a²+b²+c²≥3³√(a²b²c²)
即a²+b²+c²≥3a^(2/3)*b^(2/3)*c^(2/3)