Question

如何求抛物线y= ax2+ bx+ c的顶点式？

Answer 1

如下：

1、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，对称轴是直线x=－ b/2a，顶点坐标是（-b/2a ,(4ac-b/4a）。

2、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的性质:

若a>0，当x≤－ b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥－ b/2a时，y随x的增大而增大。

若a<0，当x≤－ b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥－ b/2a时，y随x的增大而减小。

3、抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　

(1) 图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)。

(2) 当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根。

这两点间的距离AB=|x2-x1|；

当△=0，图象与x轴只有一个交点；

当△<0，图象与x轴没有交点；

当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；

当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

4、抛物线y=ax2+bx+c的最值：

如果a>0(a<0)，则当x=－b/2a ，y最小(大)值=(4ac-b)/4a ；顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

5、用待定系数法求二次函数的解析式： 　　

(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。

(3) 当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。