Question

高数曲线积分题求解

请问如何用 对坐标的曲线积分计算椭圆 x=acosθ y=bsinθ 所围成的面积A

Answer 1

若积分域能围成闭区域，就可用格林公式：
L：{ x = acosθ
{ y = bsinθ
面积 = ∫∫D dxdy
= (1/2)∮L xdy - ydx
= (1/2)∫(0→2π) [(acosθ)(bcosθ) - (bsinθ)(- asinθ)] dθ
= (1/2)∫(0→2π) (abcos²θ + absin²θ) dθ
= (1/2)(ab)(2π)
= πab