Question

可对角化矩阵的秩等于什么？

Answer 1

因为A可对角化，所以(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。

详解：

λE-A的零度就是λ的几何重数，如果A可对角化则几何重数等于代数重数。

问题里"λE-A的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

推导过程：

A可对角化时，存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1，..，an)

则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1，...，an) = a1，...，an中非零元素的个数。

而A的特征值即 a1，...，an

所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。

综上所述：(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。

扩展资料：

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理： 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。在特征值和特征向量方面，矩阵与线性变换的理论是平行的，所得的结果对线性变换也成立。

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

参考资料来源：百度百科--可对角化矩阵

Answer 2

可对角化矩阵的秩等于对角化后非零对角元个数。