Question

高等数学，微分方程，划横线的那个方程为什么是伯努利方程？能画成标准形式么？

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Answer 1

形如dy/dx+Py=Qyⁿ； (n≠0，1; P、Q均为x的函数)谓之柏努利方程。
柏努利方程是非线性方程。但利用变换 z=y^(1-n)可以化为线性方程。
用yⁿ除原方程的两边得：y^(-n)(dy/dx)+Py^(1-n)=Q;
因为d[y^(1-n)]/dx=(1-n)y^(-n)(dy/dx)，所以上式可写为：
[1/(1-n)][dy^(1-n)/dx+Py^(1-n)=Q
令z=y^(1-n)，即可得一线性方程：
dz/dx+(1-n)Pz=(1-n)Q.
求得这线性方程的通解后，再用y^(1-n)代替z，便得柏努利方程的通解。

Answer 2

自变量是x，2yy'是 y^2对x的一阶导数 ，令u=y^2，横线部分为：u'-(1/x )u=-x。其中P(x)=-1/x，Q(x)=-x，化为了一阶线性非其次微分方程的标准形式。

Answer 3

化成标准式两边同除以2y就行了，你再对比看看

追答

伯努力他的形式就是等式左边的第二项比前一项多一次y，等式右边是关于y的n次的单项

而且，其实你不要局限于形式，他已经帮你变好形了，可以看出左边第一项就是y平方的导数的

追问

这个考点有点生疏，题做多就乱了，现在稳点做题，就是变成标准形式，然后除以y∧n 。再设y∧（1－n）为u 。。然后变成只含有u和x的一阶微分方程。

追答

是的

Answer 4

横线下面是贝努力方程，你画的那个不是

Answer 5

你把方程首项变为1，式子除以2y就化成了标准形式