Question

一道高数题目（见下图）

Answer 1

左边（假设叫f(x)）在x=1/2的时候小于1,x=1的时候大于1，又是连续的，所以一定有至少一个实根。此外，这个函数单调递增，所以一定只有一个实根
对于任意的e<1/6，可以找到N=log(3e)/log(3/2),当n>N时一定有x_n<1/2+e(见下面).又x_n>1/2始终成立，所以极限存在且为1/2

证明x_n<1/2+e：
n>N时，nlog(3/2)>-log(3e)
(3/2)^n>1/3e
(3/2)^(n+1)>1/2e
2e>(2/3)^(n+1)>(1/2+e)^(n+1)
1/2+e-(1/2+e)^(n+1)>1/2-e
(t=1/2+e)
t-t^n>1-t
f_n(t)=(t-t^n)/(1-t)>1
故f_n(x)的根小于t=1/2+e