Question

大学物理：求过程

一根长为L的软绳通过光滑桌面上的小洞下垂，绳由静止开始下滑。设绳开始下滑时下垂部分的长度为L0,则绳在桌面上的一端自桌面下滑时的速度大小为_____

Answer 1

都假定没能量损失,绳子没有张力消耗,以及绳子是均匀的,等等理想环境
那么绳子的折线运动可以看成直线运动
显然长度l(t)和质量m(t)成正比,当然包含恒定的截面积,密度等因素,
令k=m(t)/l(t), k为恒值(可称为质长比,即截面积和密度因素为恒定)
有m(t)=kl(t) (表达格式)
有G(t)=m(t)g=kgl(t) (表达格式)
有W(t)=G(t)δh (h=- l/2,表示负向高度)
= - kgl^2

设完全处于桌面的绳子的势能为W0,
则初始L0下落时 W(L0)=W0-kgL0^2/2
而全长L下落之时 W(L)=W0-KgL^2/2
则W动=W(L0)-W(L)
=kg(L^2-L0^2)/2
则V= (2P/M)^0.5
=(kg(L^2-L0^2)/kL)^0.5=(g(L^2-L0^2)/L )^0.5

第二种解法,采用数学方法
显然加速度a=gL'/L (L'是下垂部分长度的任意时刻表示法)
所以是变加速运动,初始存在a=gL0/L,此时才开始计时并且计算位移(位移=0,时间=0)
有加速度 a=gL'/L=(S+L0)* g/L (注S是变量) 设g/L=k
速度方程为 V=∫adt=k ∫(S+L0)dt
位移方程为 S=∫Vdt=k∫ (∫ (S+L0)dt) dt =k ∫∫(S+L0)dt^2
高数做法:
有加加速度V''=a'=kS'=kV 即原函数V的二次导数a'=kV则
以此类推,函数存在以下规律和形式
y’(n+2)=ky’(n) n为0,1,2,3……..表示导数的次数
且n是0和偶数时,当t=0时 y’(n)(t)=y’(n)(0)=0
当n是奇数时,当t=0时 y’(n)(t)=y’(n)(0)≠0

可用高数法求得
原函数V=C* [e^(t*√k)-e^(-t*√k)] (C为未知常数) (高数积分,过程略,搞了我好久哦)
则S=C*[e^(t*√k)+e^(-t*√k)]/√k+C1 (C1为未知常数)
又有a=V'=C*√k * [e^(t*√k)+e^(-t*√k)] 又等于k(S+L0)
所以C*√k *[e^(t*√k)+e^(-t*√k)]=k(S+L0)
即S=C* [e^(t*√k)+e^(-t*√k)]/√k-L0 =C*[e^(t*√k)+e^(-t*√k)] /√k+C1
所以C1=L0
又当t=0时S=0 解S在t=0的方程得 C=L0√k/2
故S=L0*[e^(t*√k)+e^(-t*√k)]/2-L0
V=L0√k* [e^(t*√k)-e^(-t*√k)]/2

当绳子到末尾时,S=L-L0
有L0 [e^(t*√k)+e^(-t*√k)]/2-L0=L-L0 即 e^(t*√k)+e^(-t*√k) =2L/L0
令x=e^(t*√k) (定有x>1)
令q=L/L0 (定有q>1)
即x+1/x=2q,有x^2-2qx+1=0
解得x=q＋√(q^2-1) (根据x>1)
1/x= q-√(q^2-1)

此时V= L0√k* [e^(t*√k)-e^(-t*√k)]/2=L0√k*(x-1/x)/2
=L0√k[ (q＋√(q^2-1)- (q-√(q^2-1))/2
= L0√k√(q^2-1)
=√[kL0*L0*(q^2-1)]
=√[k(L^2-L0^2)]
=√[g(L^2-L0^2)/L] 和上面算的一样 就是很复杂,呵呵

Answer 2

假设绳子的线密度为p。
绳子损失的总的重力势能等于绳子增加的动能。
初始时刻，L0长度的绳子，重心在桌面向下L0/2处，其余L-L0长度的绳子重心在桌面。
绳子另一端缓落至桌面时，L0那段绳子重心在桌面向下L-L0/2处，L-L0那段绳子重心在桌面向下（L-L0）/2处。

L0的绳子损失的重力势能mgh=pg(L-L0)*(L-L0)/2
L-L0的绳子损失的重力势能pg（L-L0）*L
总的损失pg（L+L0）*（L-L0）
应该等于动能的增加pLV*V/2

一联立两边就把p约掉了，就能算出速度了。
V=（g*（L^2-L0^2）/L）^0.5

以上是整个过程，楼主可以自己推一遍~~

Answer 3

读高中，不会...