逆矩阵的求解
如果A+B可逆,那么设它的逆为C矩阵,E为单位矩阵,求解:
(A+B)C=E
C(A+B)=E
即可
(A+B)B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)
=[AB^(-1)+E]{A[A^(-1)+B^(-1)]}^(-1)
=[E+AB^(-1)][E+AB^(-1)]]^(-1)
=E
B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)(A+B)
={[A^(-1)+B^(-1)]B}^(-1)[E+A^(-1)B]
=[A^(-1)B+E]^(-1)[A^(-1)B+E]
=E
所以(A+B)^(-1)=B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)
设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。
扩展资料:
若n阶方阵A可逆,即A行等价I,即存在初等矩阵P1,P2,...,Pk使得 ,在此式子两端同时右乘A-1得:
比较两式可知:对A和I施行完全相同的若干初等行变换,在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时,这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。
如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。
也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) = n)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。
参考资料:百度百科---逆矩阵