Question

逆矩阵的求解

Answer 1

如果A+B可逆，那么设它的逆为C矩阵,E为单位矩阵，求解：

(A+B)C=E

C(A+B)=E

即可

(A+B)B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)

=[AB^(-1)+E]{A[A^(-1)+B^(-1)]}^(-1)

=[E+AB^(-1)][E+AB^(-1)]]^(-1)

=E

B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)(A+B)

={[A^(-1)+B^(-1)]B}^(-1)[E+A^(-1)B]

=[A^(-1)B+E]^(-1)[A^(-1)B+E]

=E

所以（A+B)^(-1)=B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E  ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

扩展资料：

若n阶方阵A可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得 ，在此式子两端同时右乘A-1得： 

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。

也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

参考资料：百度百科---逆矩阵