Question

如图①，在矩形ABCD中，两条对角线交与点O，∠AOD=120°，AB=4，求：

（1）矩形对角线长（2）BC边的长（3）若过O与BD垂直交AD于E，交BC于F（如图②），求证：EF=BF，OF=CF（4）如图③，若将矩形沿直线MN折叠，使顶点B与D重合，求折叠MN的长

Answer 1

(1)∠AOD=120°,故,∠ADB=30°，OD=1/2BD=2*4/2=4,所以矩形对角线长8
(2)BC=根号(8平方-4平方)=4√3
(3) ∠OBF=30°,EF=2OF=2*(1/2BF)=BF
(4)MN与EF重合，故MN的长度为BF=8√3/3
迪（4）问可能有误，请谅解

Answer 2

(1)∴∠ADB=(180-120)÷2=30°;
∴BD=AC=2×AB=8;
(2)BC=√(64-16)=4√3;
(3)连接BE；
∴OE=OF；
∴ΔBOE≌ΔBOF
∴∠OBF=∠OBE=30°，OE=AE
∴∠EBF=∠EFB=60°
∴ΔBEF为等边三角形
∴BF=EF；
∴∠COF=30°=∠FCO
∴CF=OF；
（4）设AM=x；则有：
x²+AB²=(AD-x)²;
x²+16=(4√3-x)²=48+x²-8√3x;
8√3x=32;
x=4√3/3;
AM=4√3/3;DM=4√3-4√3/3=8√3/3;
所以MN=√(16+(8√3/3-4√3/3)²)=8√3/3;

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