函数在点x=0处连续如何证明
函数的连续性是指，在函数的定义域内，对于任意两点，如果两点之间没有断点，那么这两点之间的函数值也是连续的。
因此，要证明函数在点x=0处连续，需要证明在x=0处的函数值和在x=0左右的函数值之间没有断点。
具体的证明方法可以根据具体的函数来决定，可能需要用到数学归纳法、数学归纳原理等方法。
例如，对于函数f(x)=x^2，可以这样证明：
当x=0时，f(0)=0^2=0
当x≠0时，f(x)=x^2，x的取值范围为实数集，因此x^2的取值范围也是实数集。
因此，f(x)=x^2在x=0处连续。
注意，函数的连续性是指在定义域内的连续性，如果函数在x=0处不存在定义，那么就无法证明函数在x=0处连续。
求连续区间的步骤：求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可。设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续。
步骤
连续函数
定义
连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
法则
定理一、在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积，商(分母不为0)运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。
定理三、连续函数的复合函数是连续的。
函数极限
定义
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的
证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
存在准则
1.夹逼定理
（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立
（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A
不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。
3.柯西准则
数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。
