Question

若不等式x方+ax+2≥0，对一切x∈（0,2】恒成立，则a的取值范围是？

Answer 1

不妨令X^2+ax+2=y
当a=0时， y=X^2+2>0恒成立
当a>0时，则对称轴为x=-a/2<0, 所以在(0,2】上，y单调递增 且ymin>y(0)=2>0
当a<0时，对称轴为x=-a/2>0,
所以 若-a/2>=2, 即a=<-4
若满足条件则 y(2)>=0,即6+2a>0, a>=-3 无法满足
若 0<-a/2<2,即 -4<a<0
若要满足条件 a^2-8<=0 即 -8^0.5<=a<=8^0.5 于是 -8^0.5<=a<0
综上所述 a的取值范围是
[-8^0.5,正无穷)

Answer 2

X*X+aX+2≥0可转化为a≥-（X+2/X），利用基本不等式A+B≥2*根号下A*B，算出X+2/X的最小值为2*根号2，当且仅当X=2/X时，即X=根号2时取等号，符合题意。所以-（X+2/X）的最大值为-2*根号2，即a≥-2*根号2。