Question

高等数学，如何求，请写下详细步骤~

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Answer 1

求微分方程y''-2y'-8y=2xe^x的通解
解：齐次方程y''-2y'-8y=0的特征方程r²-2r-8=(r-4)(r+2)=0的根r₁=-2；r₂=4；
故该齐次方程的通解为y=c₁e^(-2x)+c₂e^(4x).
设原方程的一个特解y*=(ax²+bx)e^x
那么y*'=(2ax+b)e^x+(ax²+bx)e^x=[ax²+(2a+b)x+b]e^x
y*''=(2ax+2a+b)e^x+[ax²+(2a+b)x+b]e^x=[ax²+(4a+b)x+2b]e^x
代入原式得：
[ax²+(4a+b)x+2b]e^x-2[ax²+(2a+b)x+b]e^x-8(ax²+bx)e^x
=(-9ax²-9bx)e^x=2xe^x
故a=0，-9b=2，即b=-2/9. 于是得y*=-(2/9)xe^x
于是原方程的通解为y=c₁e^(-2x)+c₂e^(4x)-(2/9)xe^x