Question

一曲线积分题

第12题

Answer 1

添加线段L1：x = 1，y：1→0
添加线段L2：y = 0，x：1→0
∮(L⁻+L1+L2) (x² - y)dx + (x + sin²y)dy
= - ∫∫D 2 dxdy
= - 2 * 1/4 * π * 1²
= - π/2
∫L1 (1 + sin²y) dy
= ∫(1→0) (1 + sin²y) dy
= (1/4)sin(2) - 3/2
∫L2 x² dx
= ∫(1→0) x² dx
= - 1/3
于是∫L - 3/2 + (1/4)sin(2) - 1/3 = - π/2
∫L = - π/2 - (1/4)sin(2) + 11/6 ≈ 0.0352126

追问

恩，首先谢谢你！
然后我算到的答案跟你的答案符号刚好相反，请问方向怎么确定？
为什么是∮(L⁻+L1+L2) (x² - y)dx + (x + sin²y)dy中是“L⁻”呢？

追答

那个L⁻中的⁻是打错了，原本想改为正向计算的。设了L⁻是L的相反方向。
改为∮(L+L1+L2) (x² - y)dx + (x + sin²y)dy就好
那得看你怎么添加的线段了
如果两条直线都在原曲线下面，就是反向(顺时针)
所以格林公式是 - 号，然后余下的也这么计算
如果取正向(逆时针)，那么添加的线段都要在原本曲线上面
那格林公式是 + 号，然后余下的也照常计算