Question

三角函数的性质和图像

Answer 1

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具.在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值.
常见的三角函数包括正弦函数（）、余弦函数（）和正切函数（或者）.在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数.不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式.
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途.另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数.常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等.
概述
三角函数在数学中属于一类重要的周期函数也是初等函数里的超越函数的一类函数.它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.由于三角函数具有周期性,所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数.三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中也是常用的工具.例如在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用.
三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度,在导航系统,工程学以及物理学方面都有广泛的用途. 其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中.现代比较常用的三角函数有6个,其中sin和cos还常用于模拟周期函数现象,比如说声波和光波,谐振子的位置和速度,光照强度和白昼长度,过去一年中的平均气温变化等等.
2定义
Rt△ABC
如右图,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角.对于AB与AC的夹角∠BAC而言：
对边（opposite）a=BC
斜边（hypotenuse）h=AB
邻边（adjacent）b=AC
基本函数

英文

缩写

表达式

语言描述

正弦函数

Sine

sin

a/h

∠A的对边比斜边

余弦函数

cosine

cos

b/h

∠A的邻边比斜边

正切函数

Tangent

tan

a/b

∠A的对边比邻边

余切函数

Cotangent

cot

b/a

∠A的邻边比对边

正割函数

Secant

sec

h/b

∠A的斜边比邻边

余割函数

Cosecant

csc

h/a

∠A的斜边比对边

(注：tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法.且因为cot、sec、csc易由sin、cos、tan推出,所以初、高中教材中已将其删去不讲)
锐角三角函数
定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,余割（csc）都叫
做角A的锐角三角函数.
正弦（sin）等于对边比斜边；
余弦（cos）等于邻边比斜边；
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边；
正割（sec)等于斜边比邻边；
余割(csc)等于斜边比对边.
初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中.到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的,这个时候角也扩充到了任意角.所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角 的 三角函数.初中研究的锐角 的 三角函数为：正弦（sin）,余弦（cos）,正切（tan）.
变化情况
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ,余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）,余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
罕见
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数：
versin
函数名

与常见函数转化关系

正矢函数

versinθ=1-cosθ

vercosinθ=1+cosθ

余矢函数

coversinθ=1-sinθ

covercosinθ=1+sinθ

半正矢函数

haversinθ=(1-cosθ)/2

havercosinθ=(1+cosθ)/2

半余矢函数

hacoversinθ=(1-sinθ)/2

hacovercosinθ=(1+sinθ)/2

外正割函数

exsecθ=secθ-1

外余割函数

excscθ=cscθ-1

任意角三角函数定义：如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边,在角α终边上任取一点P（x,y）,令OP=r.
三角函数
sinα=y/r cscα=r/y
cosα=x/r secα=r/x
tanα=y/x cotα=x/y
参考链接,http://baike.baidu.com/link?url=5k9od9SPSG8oQm0O0Evwlbij4QngArPRzAo5c9leVGu_17T6YKoc8CiIW2DvzBwG