Question

几何题求解 谢谢 并解释

直角梯形ABCD中AD//BC 角ABC=90 AD=BC=2AD 点E F分别是ABBC边

的中点 连接AFCE交于点M连接BM 并延长交CD于点N 连接DE交AF于点P 则结论 1。 角ABN=角CBN 2。 DE//BN 3。 三角形CDE是等腰三角形 4 。 EM：BE= √5￣：3 5。 S△EPM=1/8S梯形ABCD 正确的个数有那些

Answer 1

正确的有4个：1、2、3、4；
第5错。
设AD=1，则AB=BC=2，梯形面积=3；
连接AC，交BN于O，则⊿ABC是等腰直角三角形，M是其重心，
BM=(2/3)BO，S⊿ABO=1；S⊿ABM=2/3；S⊿AEM=1/3；
S⊿EPM=1/6=(1/18)S梯形ABCD。

追问

M为什么是其重心 BM为什么=(2/3)BO。。。。？ 谢谢

追答

这是根据三角形的重心定理得出的结论。

定理：三角形的三条中线必相交于一点，这个点到一边中点的距离等于这边上的中线的三分之一。

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

定理证明如下：如图，

在⊿ABC中，BE和CFF分别是两条中线，D是BC边上的中点，BE与CF交于G，连接AG并延长交BC于O，交过B点作的FC的平行线于H，连接CH。

在⊿ABH中∵AF=FB，FG∥BH，∴AG=GH；

在⊿ACH中∵AE=EC，AG=GH；∴BE∥HC，

∴BHCG是平行四边形，BC与GH互相平分。

则O点就是BC的中点D点，AO就是中线AD。也就是说BE、CF、AD三中线交于一点，即G点。

∵AG=GH,GD=DH,∴GD=GH/2=AG/2=AD/3；AG=(2/3)AD。

还有，GF=HB/2=CG/2=CF/3；GE=HC/2=BG/2=BE/3。(定理证毕)

因为三角形三条中线必交于一点，所以两条中线的交点就是三角形的重心。

原题中E是AB的中点，F是BC的中点，则M是⊿ABC的重心；AC与过M的线段BN交于O，则BO定是△ABC的第三中线，且有BM=(2/3)BO。

Answer 2

AB=BC=2AD

1。 ∠ABN=∠CBN
2。 DE//BN
3。 △CDE是等腰三角形
4 。 EM：BE= √5：3
5。 S△EPM=1/8S梯形ABCD
都 ok

追问

解释一下谢谢