Question

如图,抛物线经过A，C，D三点,且三点坐标为A（-1,0），C（0,5），D（2,5），抛物线与x轴的另一个交点为B点

如图,抛物线经过A，C，D三点,且三点坐标为A（-1,0），C（0,5），D（2,5），抛物线与x轴的另一个交点为B点
2013-05-28 21:25qwedcxzas78 | 分类：数学 | 浏览586次
点F为线段OC上一动点，连接DF、BF，以DF、BF为边作平行四边形DFBG,(1)经过A、B、C三点的抛物线为 ；B点的坐标为 ；(2)线段OC上是否存在F点，使四边形DFBG为矩形，如存在，求出F点坐标，如不存在说明理由；
(3)连结FG，FG的长度是否存在最小值，若不存在说明理由。‘
（4，）若E为AB中点，找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围
前两问已经会了，请从第三问开始讲解，谢谢。

Answer 1

(1)
C, D的纵坐标相同，对称轴为两点横坐标的平均值: x = (0 + 2)/2 = 1
A, B关于对称轴对称, B(3, 0)
y = a(x + 1)(x - 3)
x = 0, y = -3a = 5, a = -5/3
y = (-5/3)(x + 1)(x - 3) = -5x²/3 + 10x/3 + 5

(2)
F(0, f), 0 < f < 5
DF, BF的斜率分别为(5 - f)/2, -f/3
四边形DFBG为矩形, [(5 - f)/2](-f/3) = -1
f² - 5f + 6 = (f - 2)(f - 3) = 0
f = 2, F(0, 2)
或f = 3, F(0, 3)

(3)
BD的中点为M(5/2, 5/2)
M也是FG的中点
F(0, f), G(u, v)
(0 + u)/2 = 5/2, u = 5
(f + v)/2 = 5/2, v = 5 - f
FG² = (5 - 0)² + (5 - f - f)² = (2f - 5)² + 25
f = 5/2时, FG最小

(4)
E(1, 0)
以E为圆心做半径为2的圆，圆与抛物线的交点为P(p, (-5/3)(p + 1)(p - 3)), -1 < p < 3
显然PA⊥PB
PA, PB的斜率分别为u = (-5/3)(p + 1)(p - 3)/(p + 1) = (-5/3)(p - 3)
和v = (-5/3)(p + 1)(p - 3)/(p - 3) = (-5/3)(p +1)
uv = -1
(25/9)(p - 3)(p + 1) = -1
25p² - 50p - 64 = 0
p = 1 ± (√91)/5
满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围:
-1 < x < 1 - (√91)/5 或1 + (√91)/5 < x < 3

Answer 2

解：设y=a（x-b）²+c，
根据图像，有b=1，
y=a（x-1）²+c，
代入点坐标，可以解a和c。

Answer 3