Question

已知数列An的前n项和为Sn，且An是Sn与2的等差中项，数列Bn中，b1＝1，点P(Bn,Bn+1)在直线x-y+2＝0上。 ...

已知数列An的前n项和为Sn，且An是Sn与2的等差中项，数列Bn中，b1＝1，点P(Bn,Bn+1)在直线x-y+2＝0上。
(1)求数列An，Bn的通项an，bn
(2)设数列Bn的前n项和为Bn，试比较1/√B1B2+1/√B2B3+…+1/√BnBn+1 与1的大小，并证明
(3)设Tn＝b1/a1+b2/a2+…+bn/an，求证Tn＜3

Answer 1

(1)∵P(Bn,Bn+1)在直线x-y+2＝0上,∴Bn-Bn+1+2=0；故Bn+1-Bn=2=d；可推bn为等差数列，
bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1;
∵An是Sn与2的等差中项；∴2+Sn=2An，2+Sn+1=2An+1；∴Sn+1-Sn=2(An+1-An)=An+1
∴An+1=2An;
又∵An是Sn与2的等差中项，∴2a1=a1=2;∴a1=2;∴an=a1*2^n=2^(n+1);

Answer 2

 

第二问用裂项相消法：

 

第三问用错位相减法：