这道题求解没思路,不知道咋写?
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奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数。
奇函数在x=0如果有定义,则f(0)=0,因为f(x)=-f(-x),x=0代入,f(0)=-f(0),2f(0)=0,f(0)=0;
xf'(x)lnx+f(x)<0,
两边除以x
f'(x)lnx+f(x).1/x<0,
[f(x)lnx]'<0
函数y=f(x)lnx,当x>0时是减函数。
y(1)=0,
所以,0<x<1时,y(x)>0;x>1时,y(x)<0;
0<x<1时,lnx<0,所以,f(x)<0;
x>1时,lnx>0,所以f(x)也<0;
xf'(x)lnx+f(x)<0
x=1代入:
1f'(1)ln1+f(1)<0
f(1)<0,
由此可得,x>0时,f(x)<0;
f(x)是奇函数,根据对称性,x<0时,f(x)>0;
(x²-1)f(x)<0
(x+1)(x-1)f(x)<0
解这个不等式,根据各项的符号判断即可,关键是f(x)的单调区间。
根-1,0,+1
x<-1时,x+1<0,x-1<0,f(x)>0,所以,(x²-1)f(x)>0;
-1<x<0时,x+1>0,x-1<0,f(x)>0,所以(x²-1)f(x)<0;
0<x<1时,x+1>0,x-1<0,f(x)<0,所以,(x²-1)f(x)>0;
x>1时,x+1>0,x-1>0,f(x)<0,所以,(x²-1)f(x)<0;
所以,解集是
(-1,0)U(1,+∞)
奇函数在x=0如果有定义,则f(0)=0,因为f(x)=-f(-x),x=0代入,f(0)=-f(0),2f(0)=0,f(0)=0;
xf'(x)lnx+f(x)<0,
两边除以x
f'(x)lnx+f(x).1/x<0,
[f(x)lnx]'<0
函数y=f(x)lnx,当x>0时是减函数。
y(1)=0,
所以,0<x<1时,y(x)>0;x>1时,y(x)<0;
0<x<1时,lnx<0,所以,f(x)<0;
x>1时,lnx>0,所以f(x)也<0;
xf'(x)lnx+f(x)<0
x=1代入:
1f'(1)ln1+f(1)<0
f(1)<0,
由此可得,x>0时,f(x)<0;
f(x)是奇函数,根据对称性,x<0时,f(x)>0;
(x²-1)f(x)<0
(x+1)(x-1)f(x)<0
解这个不等式,根据各项的符号判断即可,关键是f(x)的单调区间。
根-1,0,+1
x<-1时,x+1<0,x-1<0,f(x)>0,所以,(x²-1)f(x)>0;
-1<x<0时,x+1>0,x-1<0,f(x)>0,所以(x²-1)f(x)<0;
0<x<1时,x+1>0,x-1<0,f(x)<0,所以,(x²-1)f(x)>0;
x>1时,x+1>0,x-1>0,f(x)<0,所以,(x²-1)f(x)<0;
所以,解集是
(-1,0)U(1,+∞)
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解:当x>0时,xf'(x)lnx+f(x)<0,化为f'(x)lnx+f(x)/x<0,[f(x)lnx]'<0,则当x>0时,函数y=f(x)lnx为减函数
∵当x=1时,lnx=0;当x>1时,lnx>0;当0<x<1时,lnx<0 ∴当x=1时,f(x)=0;当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0
∴当(x²-1)f(x)<0时,有x²-1>0,f(x)<0或x²-1<0,f(x)>0 ∴有x在(0,1)∪(1,+∞)
∵f(x)为奇函数 ∴当x=-1时,f(x)=0;当x<-1时,f(x)>0;当-1<x<0时,f(x)<0
∴当(x²-1)f(x)<0时,有x²-1<0,f(x)>0或
x²-1>0,f(x)<0,此时无解
∴下面四个选项无正确解
∵当x=1时,lnx=0;当x>1时,lnx>0;当0<x<1时,lnx<0 ∴当x=1时,f(x)=0;当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0
∴当(x²-1)f(x)<0时,有x²-1>0,f(x)<0或x²-1<0,f(x)>0 ∴有x在(0,1)∪(1,+∞)
∵f(x)为奇函数 ∴当x=-1时,f(x)=0;当x<-1时,f(x)>0;当-1<x<0时,f(x)<0
∴当(x²-1)f(x)<0时,有x²-1<0,f(x)>0或
x²-1>0,f(x)<0,此时无解
∴下面四个选项无正确解
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不等式(x²-1)f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞)。
首先,我们知道当x>0时,xf’(x)lnx+f(x)<0是奇函数f(x)的导函数f'(x)的性质。因为奇函数在整个实数轴上都是奇函数,因此我们可以推出f'(x)<0,x>0;f'(x)>0,x<0。
所以我们可以得出f(x)单调递减,x>0;f(x)单调递增,x<0。
这样就得出了 (x²-1)f(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞)。
首先,我们知道当x>0时,xf’(x)lnx+f(x)<0是奇函数f(x)的导函数f'(x)的性质。因为奇函数在整个实数轴上都是奇函数,因此我们可以推出f'(x)<0,x>0;f'(x)>0,x<0。
所以我们可以得出f(x)单调递减,x>0;f(x)单调递增,x<0。
这样就得出了 (x²-1)f(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞)。
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