Question

抛物线的切线方程怎么求？

Answer 1

抛物线的切线方程没有公式
标准抛物线分为
y^2=2px
x^2=2py
y^2=-2px
x^2=-2py,p>0
等四种类型，3,4项是1,2项的延伸
对于抛物线方程为y^2=2px,抛物线上一点M(a,b)的切线
可设切线方程为y-b=k(x-a)
联立切线与抛物线。
y=k(x-a)+b
则
[k(x-a)+b]^2-2px=0
整理得
k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0
由相切得
△=0
即(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0
可求得k=p/b。
代回y-b=k(x-a)
y=p/b*(x-a)+b

同理对x^2=2py类型也可以求出切线方程
y=a/p*(x-a)+b
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以上是运用方程联立求△=0，得出斜率。
如果有学导数的话，只须对抛物线方程两边求导，得出改点的导数即切线斜率，得出方程。

另x^2=2py类型要注意抛物线顶点的斜率不存在，要分别讨论。