Question

△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上中线,CF⊥AD于F,交AB于E,求证∠AEC=∠DEB

△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上中线,CF⊥AD于F,交AB于E,求证∠AEC=∠DEB

Answer 1

本题很难，步骤特多，结论是错的。
求证：∠ADC=∠BDE。
证明：作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D,
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．