一直数列{An}满足A1=1/2,A1+A2+…+An=n^2An 用数学归纳法证明An=1/[n(n+1)]
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A1=1/2成立,设An=1/[n(n+1)]成立,因为A1+A2+…+An=n^2An
所以A1+A2+…+An+A(n+1)=(n+1)^2A(n+1),所以A(n+1）=（n+1)^2A(n+1)-n^2An,得A(n+1)/An=n/(n+2),即A2/A1=1/3,A3/A2=2/4,A4/A3=3/5,.An/A(n-1)=(n-1)/（n+1）,联乘得An/A1=2/[n(n+1)]所以,An=1/[n(n+1)]
所以A1+A2+…+An+A(n+1)=(n+1)^2A(n+1),所以A(n+1）=（n+1)^2A(n+1)-n^2An,得A(n+1)/An=n/(n+2),即A2/A1=1/3,A3/A2=2/4,A4/A3=3/5,.An/A(n-1)=(n-1)/（n+1）,联乘得An/A1=2/[n(n+1)]所以,An=1/[n(n+1)]
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