Question

一道高等数学极限与连续的极限证明题

黑框的地方，为什么δ的取值还要考虑x0？后面那个根号x0*ε不就行了吗？

望详细解释，谢。

Answer 1

证明过程的第一行里面的不等式＜成立，需要保证√x有意义，即x≥0，此时x-x0≥-x0，所以不妨假设|x-x0|≤x0

追问

题设已给x0大于0，又x趋于x0，则x≥0成立，应该不用在讨论的吧？

追答

未必。|x-x0|＜√x0ε中的ε任意，如果ε大一点，那么√x0ε＞x0是可能的，这时候|x-x0|＜√x0ε中会出现负数。所以为了保证x一定是非负数，选择两个邻域的公共部分。还有一种处理办法，是限制ε的取值，ε的关键点是任意小，所以限制一下ε的上界是可以的，比如限制一开始就限制ε＜√x0，δ可直接取√x0ε。