Question

证明f(x)=x^2+1/x在（1，正无穷）上为单调增函数

如题
f(x)=x^2+（1/x）

Answer 1

作差法。
设 p>1, q>1,p>q
f(p) = p^2 + 1/p
f(q) = q^2 + 1/q

f(p)是大于f(q) 的， 因为
f(p)-f(q) = ( p^2 + 1/p) - ( q^2 + 1/q)
= (p^2 - q^2) + (1/p - 1/q)
=(p+q)(p-q) + (q-p)/pq
= (p-q)(p+q-1/pq)

p>q, 所以p-q >0
p>1, q>1 所以 1/pq <1
p+q-1/pq > 1+1 -1 >0

所以f(p)-f(q)>0
f(p) >f(q)

所以f(x)=x^2+1/x在（1，正无穷）上为单调增函数

Answer 2

证明：
f(x)=x²+1/x
求导：
f'(x)=2x-1/x²=(2x³-1)/x²
因为：x>1
所以：x²>1，2x³-1>1
所以：f'(x)=(2x³-1)/x²>0
所以：f(x)在区间（1，+∞)上是单调增函数