Question

矩阵等价的定义

Answer 1

等价矩阵的定义是对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ。

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B等于Q减1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。等价矩阵的定义是对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ。

矩阵等价是存在可逆矩阵，即A经过有限次的初等变换得到B。矩阵A和B等价，那么B和A也等价。矩阵等价的要求是：同一维度就可以了。比如三维你只要映射都映射到二维，我们就说矩阵等价。向量组等价的要求是：必须是同一维度的同一空间。比如三维映射到二维就必须映射到同一个平面上。

等价矩阵的性质

1、矩阵A和A等价（反身性）。

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价（等价性）。

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，那么A和C等价（传递性）。

4、矩阵A和B等价，那么IAI＝KIBI，（K为非零常数）。

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征。

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。