Question

过双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1<a>0,b>0>左焦点F且垂直于双曲线一渐近线的直线与双曲线的右支交于点p,o为原

点，若oF的绝对值=op的绝对值，则C的离心率为
A,根号5
B 2
C根号3
D 3

Answer 1

设双曲线右焦点为F',不妨设P在第一象限
连接PF',OF'
∵|OF|=|OP|=|OF'|
∴PF⊥PF'
FP垂直于双曲线一渐近线l(过2，4象限）
∴PF'//l
∴tan∠PF'F=b/a
∴sin∠PF'F=b/c,
cos∠PF'F=a/c
设PF=m,PF'=n
∴m=2c*sin∠PF'F=2b
n=2c*cos∠PF'F=2a
又m-n=2a
∴2b-2a=2a
∴b=2a
a²+b²=c²
∴a²+4a²=c²
∴e²=c²/a²=5
∴e=√5

答案A

追问

cos∠PF'F=a/c
c哪来的

追答

∠PF'F=θ
tanθ=b/a=sinθ/cosθ
∴sinθ=b/a*cosθ
代入到sin²θ+cos²θ=1
∴(1+b²/a²)cos²θ=1
∴cos²θ=a²/(a²+b²)=a²/c²

快捷法
tanθ=b/a,a为邻边，b为对边，c为斜边

追问

m=2c*sin∠PF'F=2b
c是斜边，那2C哪来的

追答

a,b,c是另外的三角形，利用它求θ的弦而已
即便没有直角三角形也可以的

比如tanθ=3/4,则sinθ=3/5,cosθ=4/5

tana=1/3,sina=1/√10,cosa=3/√10

求出来后，回到ΔPFF'

追问

我算是看明白了，有两个三角形，一个是斜边是2c的，一个是C的，c和2c的同一个边

追答

OK