Question

p级数收敛， p级数发散，为什么？

Answer 1

p级数的敛散性如下：

当p>1时，p级数收敛；当1≥p>0时，p级数发散。

形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…（p>0）的级数称为p级数。

当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+…。p级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。

交错p级数：形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+…（p>0）的级数称为交错p级数。

交错p级数是重要的交错级数。

交错p级数的敛散性如下：当p>1时，交错p级数绝对收敛；当1≥p>0时，交错p级数条件收敛。

例如：交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n-1)*1/n+…条件收敛，其和为ln2。

一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法：

若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。

调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。

二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k1]x∈[k,k1]使得某个函数在[k,k1][k,k1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。