Question

一道高数积分题 ∫0→1 xdx ∫1→x （sint＾2）／t dt

请给出详细过程，谢谢。好回答必采纳。

Answer 1

这道高数积分题可以用两步解决：
首先求第一个积分：
∫0→1 xdx = [x^2/2]0→1 = 1/2
然后求第二个积分：
∫1→x (sint^2)/t dt = [-cost]1→x = -cosx + 1
所以答案就是:
∫0→1 xdx + ∫1→x (sint^2)/t dt = 1/2 + (-cosx + 1)
注意第二个积分的答案是一个关于x的表达式，因为我们只知道了x的上限。

Answer 2

如果直接算的话会出现∫sinu/udu,无法用初等函数表示原函数，仅可得知∫0→+∞ sint/tdt=π/2,所以首先得将x型区域化为t型区域
∫0→1 xdx ∫1→x （sint＾2）／t dt = -∫0→1 （sint＾2）／t dt ∫0→t xdx
= -∫0→1 1/2t（sint＾2） dt = -∫0→1 1/4 sinu du = 1/4cos1-1/4
个人见解，如果没问题望采纳

Answer 3

首先，将积分区间分为两部分来看：
∫0→1 xdx，这是一个关于x的一元函数的积分，对应的答案是x^2/2 |0→1 = 1/2
∫1→x (sint^2) / t dt，这是一个关于t的一元函数的积分，
对 (sint^2) / t进行积分，
∫ (sint^2) / t dt = -∫cost * sint / t dt
由二项式定理可知， cost = √(1-sint^2)
∫ -∫cost * sint / t dt = -∫(√(1-sint^2)) * sint / t dt = - ∫(√(1-t^2)) dt
对这个式子进行积分，
∫(√(1-t^2)) dt = -∫ √(1-t^2) dt = -arcsin(t) |1→x
所以这部分的答案为 -arcsin(x) |1→x = -arcsin(x) + arcsin(1)
整体答案为 1/2 + (-arcsin(x) + arcsin(1))