Question

一道高二数学题，不会做，求助大神帮帮忙，分不多，没法子了，谢谢了，我要解题过程，不要光答案了。

已知函数f(x)=a x^2 - x的图像与函数g(x)=(x - 1)^3 +b的图像相交与点P(1, c)，且在点P处有相同的切线，其中a，b，c是常数。①求a+b+c的值。②对一切X属于（0，e］，f(x)≤2x lnx + t x + 3/2恒成立，求实数t的取值范围。③是否存在整数k，是方程f(x)=e^x在［k，k+1］上有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（其中e=2.71828……为自然对数的底数）。 帮帮忙，暑假作业，不太会，麻烦给一个详细的解题过程，谢谢了

Answer 1

1)f'(x)=2ax-1 g'(x)=3(x-1)^2
∵在点P处有相同的切线
∴f(1)=g(1) a-1=b=c
f'(1)=g'(1) 2a-1=0

a=1/2 b=c=-1/2

2)∵X属于（0，e］∴t>=1/2x-2lnx-3/(2x)-1

设F(x)=1/2x-2lnx-3/(2x)-1
F'(x)=3/2x^2-2/x+1/2=(x^2-4x+3)/2x^2=(x-1)(x-3)/2x^2
x (0,1) 1 (1,e]
F'(x) + 0 --
F(x) 增 极大 减

最大值为F(1)=-2 t>=-2

3)设G(x)=f(x)-e^x=0.5x^2-x-e^x
G'(x)=x-e^x-1 G''(x)=1-e^x
G'(x)在（-无穷，0）增，在（0，+无穷）减
G'(x)max=G'(0)=-2<=0
G(x)在R上减
G(0)=-1 G(-1)=3/2-1/e>0
k=-1

Answer 2

（1）f(1)=a-1=c g(1)=b=c :f/(x)=2ax-1 g/(x)=3(x-1)^2 f/(1)=2a-1=g/(1)=0 所以a=1/2 b=c=--1/2 所以a+b+c=--1/2 （2） f(x)≤2x lnx + t x + 3/2 即 1/2 * x^2 - x <=2x lnx + t x + 3/2 分离变量得 t>=x/2 --1 --2lnx --3/(2x) 对一切 X属于（0，e］
恒成立 。 令h(x)=x/2 --1 --2lnx --3/(2x) X属于（0，e］ h/(x)=1/2 -2/x +3/(2x^2) =[(x-1)*(x-3)]/(2x^2) 所以h(x)在（0,1）上单调递增，在（1，e)上单调递减，所以h(x)max= h(1)=--2 所以t>=-2 (3) 令g(x)=e^x +x--x^2 /2 g/(x) =e^x +1--x g//(x)=e^x--1 g//(0)=0 所以g/(x) 在（-无穷，0）单调递减，在（0,+无穷）单调递增，所以g/(x) min =g/(0)=2>0 所以g(x)单调递增，又因为g(0)=1>0, g(--1)=1/e -3/2 <0 所以存在k=--1满足题意。

Answer 3

一 f（x）与g（x）相交于点p，得到两个方程
在点p处有相同切线，即f(1)'=g(1)'
解出来a=1\2 b=c=-1\2

二
令f(x)≤2x lnx + t x + 3/2, 转换为x-2-4lnx\2-3\2x≤t,之后求导在区间内找最大值就行了

三
不存在
令h(x)=f(x)-e^x=1\2 x^2-x-e^x
h(x)'=x-e^x-1
h(x)''=1-e^x
令h(x)''=0 得到x=0此时
又h(x)''恒为减函数，则h(x)'也恒为减函数最大值为x=0时，同理h(x)也是如此
h(x)max=h(0)=-1不存在正数使得h(x1)h(x2)<0

三题是我弄错了，看其他人的吧