Question

曲面积分

Answer 1

By 高斯公式：
补面Σ₁：z = 1上侧
∫∫(Σ+Σ₁) xdydz + ydzdx + zdxdy
= 3∫∫∫Ω dxdydz
= 3 * 1/3 * π * 1² * 1
= π
∫∫Σ₁ xdydz + ydzdx + zdxdy
= ∫∫D dxdy
= π * 1²
= π
∴∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy = π - π = 0

另解：
z = √(x² + y²)
∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= - ∫∫D [ - x * x/√(x² + y²) - y * y/√(x² + y²) + √(x² + y²) ] dxdy
= - ∫∫D [ - (x² + y²)/√(x² + y²) + √(x² + y²) ] dxdy
= - ∫∫D [ - √(x² + y²) + √(x² + y²) ] dxdy
= 0

追问

答案为 π。。。

追答

若Σ包括z = 1这平面，则答案为π。
那不要后面那部分的内容：
∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= 3∫∫∫Ω dxdydz
= 3 * 1/3 * π * 1² * 1
= π
那是你题目有点歧义啊，这样问法还是第一次见，问的不正规会令人误会的。
若不包括平面，可说锥面z = ..被平面z = ..所截得的立体表面的(下侧)，(不说外侧)
若包括平面，可说Σ是锥面z = ..及平面z = ..所围成的立体表面的(外侧)，(说及，不说被..所截得)