Question

2012•贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．

（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长
请问是否可以不用方程
连接AC
∵ABCD正方形
∴AC平分∠BAD
∵△ABE全等于△ADF
∴∠BAE=∠DAF
∴三线合一 AG⊥EF
求出AG是跟三 CG是1
然后用沟谷定律得出AB的长
求不用方程的答案

Answer 1

解：（如图）要使正方形内的△AEF为正三角形，必须AE=AF

由此，必须△AEC≌△AFB

∴CE=BF       得到DE=DF

∵ABCD是正方形，∴∠D是直角

而DE=DF             ∴∠DEF=∠DFE=45°

Answer 2

解1：
先推算出∠BAE＝15°
已知AE＝2
∴AB＝2×cos15°
∵cos15°=cos(45°—30°）=cos45°* cos30°+ sin45°* sin30°
=（√2）/2 * （√3）/2 +（√2）/2 * 1/2 =(√2+√6)/4
∴AB＝2×(√2+√6)/4
∴正方形ABCD的周长＝2×(√2+√6)/4×4＝2×(√2+√6)＝2√2+2√6

解2：
连接AC
∵ABCD正方形
∴AC平分∠EAF
已知△AEF等边三角形
∴∠EAF＝60°
∴∠EAC＝1/2∠EAF＝30°
已知AE＝2
∴AG＝2×cos30°＝2×√3/2＝√3

EF＝2
CE＝EF÷√2＝2÷√2＝√2
GC＝CE÷√2＝√2÷√2＝1
AC＝AG+GC＝√3+1
AB＝AC÷√2＝(√3+1)÷√2
正方形ABCD的周长＝AB×4＝(√3+1)÷√2×4＝(√3+1)×2√2＝2√6+2√2

Answer 3

角AEB=75度，sin75=√6 √2/4=AB/AE=AB/2解出AB