Question

一个函数在一个点存在各个方向的方向导数，而且方向导数有界，那么这个函数在这个点处连续，对么？

Answer 1

不对。
考察函数f(x,y)=1,当0<y<x^2,-∞<x<+∞时,
0,其余部分,
这个函数在原点不连续，因为沿直线趋于原点时极限是0，而沿y=kx^2,(0<k<1)时极限是1，在原点重极限不存在。
但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值恒为零，于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向l都有∂f/∂l|(0,0)=0。
这说明函数在一点连续不是方向导数存在的必要条件，也不是充分条件。