Question

一道几何解答题

如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D作DP⊥AF于P，Q为CE与AF的交点，连接DQ，则DP∶DQ等于（ ）

Answer 1

解答在图上：

 

Answer 2

连接DE、DF；设AB=3a
已知AB:BC=3:2，AE:EB=1:2
所以，BE=2a，BF=CF=a
已知平行四边形ABCD中∠DAB=60°
则，∠B=180°-60°=120°
在△ABF中由余弦定理有：AF^2=AB^2+BF^2-2AB*BF*cos∠ABF
AF^2=(3a)^2+a^2-2*3a*a*(-1/2)
AF=(√13)a
在△CBE中由余弦定理有：CE^2=BC^2+BE^2-2BC*BE*cos∠CBE
CE^2=(2a)^2+(2a)^2-2*2a*2a*(-1/2)
CE=(2√3)a
而S△ADF=S△CDE=(1/2)S平行四边形ABCD
已知DP⊥AF，DQ⊥CE
所以，S△ADF=(1/2)AF*DP；S△CDE=(1/2)CE*DQ
所以，AF*DP=CE*DQ
DP/DQ=CE/AF=[(2√3)a]/[(√13)a]
DP:DQ=2√3:√13

追问

DQ⊥CE 吗？

Answer 3

连接DE、DF；延长DQ交AB与G
设AB=3a
已知AB:BC=3:2，AE:EB=1:2
所以，BE=2a，BF=CF=a
已知平行四边形ABCD中∠DAB=60°
则，∠B=180°-60°=120°
在△ABF中由余弦定理有：AF^2=AB^2+BF^2-2AB*BF*cos∠ABF
AF^2=(3a)^2+a^2-2*3a*a*(-1/2)
AF=(√13)a
在△CBE中由余弦定理有：CE^2=BC^2+BE^2-2BC*BE*cos∠CBE
CE^2=(2a)^2+(2a)^2-2*2a*2a*(-1/2)
CE=(2√3)a
而S△ADF=S△CDE=(1/2)S平行四边形ABCD
因为EB=2a，BC=2a，∠EBC=120°（因为平行线性质）
所以∠QEG=30°，又因为∠QGE=60°所以DQ⊥CE
已知DP⊥AF，DQ⊥CE
所以，S△ADF=(1/2)AF*DP；S△CDE=(1/2)CE*DQ
所以，AF*DP=CE*DQ
DP/DQ=CE/AF=[(2√3)a]/[(√13)a]
DP:DQ=2√3:√13

Answer 4

2/13根号39，