Question

求幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数。

Answer 1

把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^（n-1）
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/（1-x）-1 ，（|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，（-1<x<1）
x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域（-1,1）

Answer 2

把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^(n-1)
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^(n-1)积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/(1-x)-1
，(|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，(-1<x<1)
x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域(-1,1)

Answer 3

把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^(n-1)
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^(n-1)积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/(1-x)-1
，(|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，(-1<x<1)
x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域(-1,1)