Question

二重积分的一道选择题求解

答案上是D
如果用极坐标表示，r 和 θ 的取值范围是 [0,根号2] 和 [0,2π] 吗?

Answer 1

π是常数，可以提取出来，这个应该容易理解吧
∫∫dσ 也可以表示为 ∫∫1 * dσ
而积分区域正好是半径R为√2的圆
所以重积分∫∫1 * dσ 实际上就表示以圆为底，以单位 1 为顶的一个圆柱体的体积，也就是圆面积
所以∫∫1 * dσ ＝ πR²＝2π
所以∫∫πdσ ＝2π²
所以四个选项都不对

如果用极坐标表示，r 和 θ 的取值范围是 [0,根号2] 和 [0,2π] 吗?
你的理解是正确的
∫∫π dσ ＝∫ {θ＝0→2π} dθ ∫{r＝0→√2} π rdr
＝∫ {θ＝0→2π} dθ ∫{r＝0→√2} π/2 dr²
＝2π * π/2 * r² | {r＝0→√2}
＝2 π ²
所以即便是用极坐标 选项D也不对
当然也可以修改题目为下面的几个
第一种修改：修改区域为x²＋y²≤1
第二种修改：修改区域为x²＋y²≤2的上半区域或者下半区域、再或者左、右半区域
第三种修改：修改区域为椭圆： (x/0.5)²＋(y/2)²≤1 其面积也正好为 πab＝1
其它的题目修改不再列举啦

Answer 2

Answer 3

首先，π是常数，可以提出到积分号前面，原式变成π∫∫dσ，根据二重积分的几何意义可知是求底面是园x^2+y^2=2,高为π的圆柱体的体积。就是πR²×π=π²

追问

底面圆的半径应该是根号2吧，所以体积应该是2π²吧？

追答

我答错了，少乘了个2，答案应该是2π²