二重积分的一道选择题求解
3个回答
2013-06-27
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π是常数,可以提取出来,这个应该容易理解吧
∫∫dσ 也可以表示为 ∫∫1 * dσ
而积分区域正好是半径R为√2的圆
所以重积分∫∫1 * dσ 实际上就表示以圆为底,以单位 1 为顶的一个圆柱体的体积,也就是圆面积
所以∫∫1 * dσ = πR²=2π
所以∫∫πdσ =2π²
所以四个选项都不对
如果用极坐标表示,r 和 θ 的取值范围是 [0,根号2] 和 [0,2π] 吗?
你的理解是正确的
∫∫π dσ =∫ {θ=0→2π} dθ ∫{r=0→√2} π rdr
=∫ {θ=0→2π} dθ ∫{r=0→√2} π/2 dr²
=2π * π/2 * r² | {r=0→√2}
=2 π ²
所以即便是用极坐标 选项D也不对
当然也可以修改题目为下面的几个
第一种修改:修改区域为x²+y²≤1
第二种修改:修改区域为x²+y²≤2的上半区域或者下半区域、再或者左、右半区域
第三种修改:修改区域为椭圆: (x/0.5)²+(y/2)²≤1 其面积也正好为 πab=1
其它的题目修改不再列举啦
∫∫dσ 也可以表示为 ∫∫1 * dσ
而积分区域正好是半径R为√2的圆
所以重积分∫∫1 * dσ 实际上就表示以圆为底,以单位 1 为顶的一个圆柱体的体积,也就是圆面积
所以∫∫1 * dσ = πR²=2π
所以∫∫πdσ =2π²
所以四个选项都不对
如果用极坐标表示,r 和 θ 的取值范围是 [0,根号2] 和 [0,2π] 吗?
你的理解是正确的
∫∫π dσ =∫ {θ=0→2π} dθ ∫{r=0→√2} π rdr
=∫ {θ=0→2π} dθ ∫{r=0→√2} π/2 dr²
=2π * π/2 * r² | {r=0→√2}
=2 π ²
所以即便是用极坐标 选项D也不对
当然也可以修改题目为下面的几个
第一种修改:修改区域为x²+y²≤1
第二种修改:修改区域为x²+y²≤2的上半区域或者下半区域、再或者左、右半区域
第三种修改:修改区域为椭圆: (x/0.5)²+(y/2)²≤1 其面积也正好为 πab=1
其它的题目修改不再列举啦
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