求极限lim（n→∞）1/a +2/a的平方+•••+n/a的n次方，用幂级数的的知识求
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解：分享一种解法。设S=1/a+2/a^2+…+n/a^n，∴(1/a)S=1/a^2+2/a^3+…+n/a^(n+1)，
∴S-(1/a)S=1/a+1/a^2+2/a^3+…+1/a^n-n/a^(n+1)=(1/a)(1-1/a^n)/(1-1/a)-n/a^(n+1)，即(1-1/a)S=(1-1/a^n)(a-1)-n/a^(n+1)。
∴当a>1时，lim(n→∞)1/a^n=0，lim(n→∞)n/a^(n+1)=0，S=a/(a-1)^2，收敛；a=1时，S=lim(n→∞)n→∞发散；a<1时，lim(n→∞)n/a^(n+1)→∞，lim(n→∞)n/a^(n+1)→∞，发散，
∴当a>1时，S=a/(a-1)^2，收敛；当a≤1时，S发散，极限不存在。供参考。
∴S-(1/a)S=1/a+1/a^2+2/a^3+…+1/a^n-n/a^(n+1)=(1/a)(1-1/a^n)/(1-1/a)-n/a^(n+1)，即(1-1/a)S=(1-1/a^n)(a-1)-n/a^(n+1)。
∴当a>1时，lim(n→∞)1/a^n=0，lim(n→∞)n/a^(n+1)=0，S=a/(a-1)^2，收敛；a=1时，S=lim(n→∞)n→∞发散；a<1时，lim(n→∞)n/a^(n+1)→∞，lim(n→∞)n/a^(n+1)→∞，发散，
∴当a>1时，S=a/(a-1)^2，收敛；当a≤1时，S发散，极限不存在。供参考。
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